Выпуск 29

Описана методика измерения параметров, характеризующих очаг землетрясения в приближении точечного источника, зависящего от времени. По нескольким полученным в разных точках земной поверхности телесейсмическим записям прямой волны Р и волн рР и sP определяются тензор сейсмического момента, глубина и временна́я функция источника. В лучевом приближении все указанные волны теоретически когерентны, т.е. для любой пары фазовые спектры отличаются на линейную функцию частоты, а амплитуды – на постоянный множитель. Эти модельные свойства изучаемых сигналов позволяют свести задачу поиска компонент тензора момента к решению систем линейных уравнений, определяемых спектральными характеристиками зарегистрированных волн. В реальной ситуации на широкополосной записи обычно не удается разделить волновые фазы Р, рР и sP, имеющие близкие времена прихода. Спектры начальных частей записей, сформированных суперпозицией этих фаз, обладают свойствами когерентности лишь на периодах, существенно превышающих разности времен прихода прямой и отраженных над очагом волн. Поэтому описываемый метод реализуется в три этапа. На первом анализируется длиннопериодная часть спектра P-волн. В предположении о когерентности сигналов, зарегистрированных различными станциями, строится оценка тензора момента. На втором этапе, расширив интерпретируемый частотный диапазон, используя полученный ранее тензор момента и варьируя глубину источника, для каждого ее значения корректируем спектры с целью ликвидировать теоретическое запаздывание интерферирующих фаз. Глубина, для которой исправленные спектры «максимально когерентны», принимается за оценку истинной глубины очага. На третьем этапе вычисляется временна́я функция источника. Приводятся результаты тестирования метода на синтетических сейсмограммах и записях Хаилинского землетрясения 1991 г.

Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка, зависящего от параметра, обращающегося в нуль в части области; в этой подобласти эллиптическое уравнение вырождается в уравнение меньшего порядка. Строится полное асимптотическое разложение решения этого уравнения. Рассмотренная задача является модельной для задачи об асимптотическом поведении собственных колебаний Земли с жидким ядром.

Предлагается точное решение задачи уплощения для P–SV-колебаний, рассматриваются его свойства, находится член первой степени в разложении уплощения по обратным степеням радиуса Земли. Хотя точное преобразование уплощения Земли для SH-колебаний известно уже более четверти века, найти его аналог для P–SV-колебаний не удавалось. Использовались различные приближенные методы. Точное преобразование уплощения удалось получить, опираясь на следующий результат. Система уравнений теории упругости в плоско-, сферически- и цилиндрически-слоистых средах сводится к специальной матричной форме Штурма–Лиувилля. Во всех этих случаях свободная от волнового числа часть оператора разлагается в произведение дифференциальных операторов первого порядка. Такое представление позволяет перейти от заданного сферического оператора к некоторому плоскому с помощью матричного преобразования. Это позволяет рассчитывать колебания рэлеевского типа в цилиндрически- и сферически-симметричных телах с помощью методов, разработанных для плоскослоистых сред.

Предлагается теория линейных уравнений упругости в изотропных и непрерывно-слоистых средах трех типов: плоско-, сферически- и цилиндрически-слоистых. Известные преобразования оператора упругости дают разложение общего решения по осесимметричным. После разделения переменных получается двумерный матричный оператор, управляющий P–SV-колебаниями, и скалярный – для SH-колебаний. Двумерный оператор дифференциальным преобразованием можно привести к матричному оператору Штурма–Лиувилля, который при нулевом значении собственного числа явным образом разлагается на множители, являющиеся операторами первого порядка. Это ключевой результат теории. С его помощью найдены канонические формы оператора, к которым его можно привести матричными преобразованиями различного вида. Доказано, что при фиксированной частоте разрешима задача локальной интерпретации произвольно заданного оператора в среде любого из трех типов. Этот результат необходим для решения обратной сейсмологической задачи, кроме того, он позволяет дать точное решение задачи уплощения Земли для волн Рэлея.

В статье излагается обобщение метода отражений, используемого для вычисления теоретических сейсмограмм. Для аппроксимации заданной слоистой градиентной среды используются среды Пикериса, содержащие однородные среды как частный случай. Использование неоднородных сред обеспечивает более точную аппроксимацию и позволяет обойтись меньшим количеством аппроксимирующих слоев, что существенно ускоряет вычисление теоретических сейсмограмм.

Рассматривается определение профиля электронной плотности с помощью радиозондирования ионосферы на двух частотах (бистатическое зондирование). Исследуются два случая: источник и приемник находятся на Земле или на спутниках над ионосферой, второй случай называется методом радиозатмения. Если этот профиль содержит зоны с низкой плотностью, т.е. волноводы (или «долины»), то стандартный метод определения профиля электронной плотности по данным радиозондирования неприменим. При зондировании ионосферы с Земли эта задача, известная как задача долин, решается с помощью методов, развитых в сейсмологии, и с помощью закона дисперсии радиоволн – а именно, закона Эпплтона–Хартри. При зондировании со спутников применяется преобразование «уплощения Земли», чтобы показать, что при достаточно высокой частоте зондирования ионосфера не содержит волноводов. Однако высокочастотные радиоволны мало чувствительны к электронной плотности, поэтому эта обратная задача требует более тщательного изучения.

Исследуется интегральное уравнение Фредгольма–Стилтьеса первого рода в задаче радиозондирования ионосферы с волноводами (т.е. участками убывания электронной плотности с высотой). Показано, что на паре пространств (W₂¹[a,b],  L₂[c,d]) и (V_a^b, L₂[c,d]) задача является некорректно поставленной (неустойчивой). Для построения устойчивого приближенного решения применяется метод регуляризации Тихонова со стабилизаторами вида Ω[F ]  =  ‖F ‖²_W2¹ и Ω[F ]  =  V_a^b. Описан алгоритм исследования (не)единственности решения уравнения Фредгольма–Стилтьеса. Приведены результаты модельных численных экспериментов, показывающие работоспособность предложенной методики.

Изучается задача реконструкции неизвестных возмущений, действующих на динамическую систему, описываемую волновым уравнением. Указывается устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм, который основан на одном из подходов к решению обратных задач [1–4].

Рассмотрен класс иерархических моделей с взаимодействием произвольной степени нелокальности. Показано, что при некоторых дополнительных предположениях, а именно, при гипотезе универсальности, масштабной инвариантности, бутстрапа, а также при некоторых стандартных ренормгрупповых соображениях, система «кинетических уравнений» таких иерархических моделей может оказаться в классе вполне интегрируемых. Подробно рассмотрен пример такого рода системы. Для нее постороен бигамильтонов формализм, найдено представление Лакса, получено уравнение Хироты. Непрерывный предел указанных моделей контролируется иерархией Кадомцева–Петвиашвили. Обсуждается возможная связь указанных моделей с иерархическими моделями, а также потенциальное применение к описанию геофизических сред в околокритическом режиме.
¹Работа является частью незаконченного цикла статей молодого талантливого физика-теоретика, трагически скончавшегося в марте 1995 г. Публикуемая статья посвящена иерархическим моделям, используемым при описании многих геофизических процессов, в частности процесса образования лавин или подготовки землетрясений. Работа сложна для геофизика-интерпретатора. Однако она безусловно важна, поскольку представляет заинтересованный взгляд физика-теоретика на современные проблемы геофизики и вводит в круг идей и методов современной теоретической физики. Прим. ред.

Случайные каскады лежат в основе моделирования многих физических явлений, и в частности сейсмического процесса. В работе дано аналитическое исследование мультифрактальных свойств каскадов Мандельброта, моделирующих процесс хорошо развитой турбулентности. Результаты проясняют ситуацию, связанную с лог-нормальной гипотезой Колмогорова–Обухова в турбулентности. Ее критика, основанная на эмпирическом анализе скейлинговых свойств диссипации энергии, неверна, поскольку операции осреднения по пространству и ансамблю оказались нетождественными.

В двумерной модификации модели Барриджа–Кнопова обнаружены фрактальные свойства псевдослучайного множества областей сдвига для численно моделируемых землетрясений. Установлен степенной характер связей между энергией событий и геометрическими характеристиками очага. Ряд «законов подобия», постулируемых в классической сейсмологии, для модельных землетрясений не выполняется.

Рассматривается одномерное уравнение Бюргерса в пределе исчезающей вязкости. Это уравнение возникает во многих задачах, в том числе в гидродинамике и космологии. При численном исследовании уравнения Бюргерса обычно используется преобразование Лежандра. Результатом является одномерное сечение решения – его ограничение на прямую t  =  t * при произвольном фиксированном времени t *  >  0. Предлагается альтернативный подход, основанный на выяснении механического смысла формул Хопфа–Коула и позволяющий получить решение сразу для всех x, t. Предложен эффективный алгоритм, трудоемкость которого составляет лишь O (N  log N ) машинных операций (N – число точек решетки).

Приводится новый алгоритм для вычисления дискретного преобразования Лежандра. Классические алгоритмы работают со скоростью, пропорциональной N ^2d (N – количество точек в решетке, d – размерность пространства). Быстрое преобразование Лежандра имеет время O ((N  log₂ N )^d ), новый алгоритм имеет время O (N^d ). Решение уравнения Бюргерса может быть сведено к выполнению преобразования Лежандра. В статье рассматривается другой подход к решению уравнения Бюргерса; приводятся новые алгоритмы, в одномерном случае имеющие время работы O (N ) и позволяющие получить решение одномерного уравнения Бюргерса путем вычисления траекторий материальных точек.

С помощью вычислительных алгоритмов оцениваются параметры распространения плоской сейсмической волны по наблюдениям трехкомпонентной малоапертурной сейсмической группы. Задача трактуется как статистическая с мешающими параметрами в связи с наличием существенно коррелированных (часто – когерентных) помех, воздействующих на датчики группы, и отсутствием полной априорной информации о временно́й форме сейсмической волны. Для волновой формы используются две модели: модель стационарного случайного процесса со спектральной плотностью, зависящей от конечномерного мешающего параметра, и модель полностью неизвестной наблюдателю последовательности, обладающей временно́й автокорреляционной функцией (также неизвестной). Для каждой из моделей строятся состоятельные и асимптотически нормальные алгоритмы оценивания, отвечающие асимптотическим условиям оптимальности. Свойства оценок исследуются при малом и большом отношениях сигнал/шум.

Рассматриваются задачи, связанные с обнаружением, выделением и оценкой параметров сейсмических сигналов, маскируемых сильными когерентными помехами. В качестве таких помех изучаются сигналы от интерферирующего события-землетрясения, происходящего одновременно со взрывом (возможный сценарий сокрытия подземного ядерного испытания). Для решения указанных задач на основе данных малоапертурных сейсмических групп используются методы статистического анализа многомерных стационарных временны́х рядов, позволяющие синтезировать алгоритмы адаптивной групповой фильтрации и пространственного спектрального анализа с высоким разрешением. На основе экспериментов с модельными и реальными данными Скандинавских малоапертурных сейсмических групп показано, что адаптивные статистически оптимальные алгоритмы, оценивающие (близкую к вырожденной) матричную спектральную плотность когерентных помех, обеспечивают точное определение временно́й функции сигнальной сейсмической волны и направления ее прихода на группу при значительно ме́ньшем отношении сигнал/шум, чем традиционно применяемые алгоритмы.