Определение температурных напряжений в упругих пластинках – необходимая составляющая в прочностных расчетах элементов тонкостенных конструкций, например, обшивки самолетов и ракет в условиях аэродинамического нагрева.
Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции. Тепловые напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкций из материалов с повышенной хрупкостью.
Кроме того, практика показывает, что температурные напряжения могут быть одной из основных причин горных ударов и, возможно, землетрясений небольших масштабов. Это связано с тем, что разогрев горной породы и ее последующее охлаждение приводят к возникновению остаточных напряжений и их последующей разрядке в виде стреляний, горных ударов, землетрясений и других катастрофических явлений.
Примеры решения простейших температурных задач имеются практически во всех учебниках по теории упругости. Для их определения применялись различные методы: метод суперпозиции, метод интегралов Фурье, метод коллокаций, метод конечных элементов и т.д. Почти все они, так или иначе, сводят краевую проблему к приближенному решению бесконечных систем алгебраических уравнений.
В работе впервые построены примеры точных решений температурных задач для квадрата с различными граничными условиями на его сторонах в следующих постановках: 1) температурная задача для свободного квадрата; 2) температурная задача для защемленного квадрата. Метод решения заключается в следующем. Вначале решается температурная задача для бесконечной плоскости. Затем к этому решению добавляются точные решения однородных краевых задач для прямоугольника, с помощью которых удовлетворяются граничные условия на сторонах квадрата. Температурные перемещения и напряжения получаются в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля. Показано, что в задаче для свободного квадрата касательные напряжения имеют конечные всплески в угловых точках. Всплесков не будет, если считать, что раскладываемая функция обращается в ноль в малой окрестности угловых точек. Можно поступить иначе, умножив раскладываемую функцию в окрестности угловых точек на некоторую сглаживающую функцию, которая обращается в ноль в угловых точках вместе с заданным количеством ее производных. Показано, что в задаче для защемленного квадрата всплески нормальных напряжений в угловых точках имеют логарифмический характер. Избавиться от этой особенности нельзя. Это обусловлено тем, что коэффициент Лагранжа для раскладываемой функции имеет наибольшую скорость убывания, т.к. он определяется непосредственно из уравнения для определения биортогональных функций и, следовательно, раскладываемая функция рассматривается в этом случае как целая, т.е. обладает наибольшей гладкостью. Таким образом, особенность для напряжений в температурной задаче для защемленного квадрата является ее физической характеристикой.
Чтобы избежать непринципиальных выкладок, а изложение сделать максимально простым и кратким, в статье был рассмотрен квадрат, а не прямоугольник, температурное поле считалось четно-симметричным относительно центральных осей координат квадрата, закон распределения температуры выбран максимально простым:
T(x,y)=x2 + y2
 |
 |
Техника решения температурных задач может быть применена и для решения неоднородных задач.
Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 19-71-00094) и Российского фонда фундаментальных исследований совместно с Государственным фондом естественных наук Китая (проект № 20-51-53021).
Источник: Kovalenko M.D., Menshova I.V., Kerzhaev A.P., Yu G. A temperature problem for a square: An exact solution // Mathematics and Mechanics of Solids, 2022, vol. 27, no. 2, pp. 250–261. DOI: 10.1177/10812865211020496.
