Кинематическое динамо
Магнитный α-эффект и вихревая диффузия не могут считаться основными механизмами генерации многомасштабных полей.Рассмотрена кинематическая генерация пространственно-периодическим течением электропроводной жидкости магнитных мод вида произведения трехмерного поля, имеющего такую же периодичность, на гармонику Фурье с произвольным постоянным волновым вектором q. Проведены расчеты магнитных мод с максимальным по q инкрементом роста γ для модельного течения общего вида (в таких течениях присутствует магнитный α-эффект) и для центрально-симметричного модельного течения (в таких течениях α-эффект отсутствует, но в модельном течении присутствует отрицательная магнитная вихревая диффузия). Показано, что магнитные моды с максимальным по q инкрементом роста γ характеризуются слабым разделением пространственных масштабов, поэтому указанные эффекты не могут считаться основными механизмами их генерации.
Изоповерхности плотности кинетической энергии модельного течения общего вида на уровне 50% от максимальной плотности. Изображен один куб периодичности течения.
а) 
б) 
Максимальный по q инкремент роста магнитных мод γ (вертикальная ось) (а) для модельного течения общего вида и волновой вектор q (вертикальная ось) (б), для которого достигается maxqγ, как функции молекулярной магнитной диффузии η (горизонтальная ось). Точки показывают вычисленные величины maxqγ (а). Сплошная линия: |q|, штриховые: qn, длина штриха увеличивается с индексом n (б).
Изоповерхности инкремента γ в пространстве волновых векторов q для модельного течения общего вида для молекулярной магнитной диффузии η=0.1 на уровнях 25%, 50%, 75% и 90% от maxqγ.
Изоповерхности плотности кинетической энергии центрально-симметричного модельного течения на уровне 60% от максимальной плотности. Изображен один куб периодичности течения.
а) 
б) 
Максимальный по q инкремент роста магнитных мод g (вертикальная ось) (а) для центрально-симметричного модельного течения и волновой вектор q (вертикальная ось) (б), для которого достигается maxqγ, как функции молекулярной магнитной диффузии h (горизонтальная ось). Точки показывают вычисленные величины maxqγ (а). Локальные максимумы γ достигаются при q=0 (правая ветвь, пунктир, нейтральные моды), q=(0,1/2,0) (средняя ветвь, штриховая линия), для левой ветви (сплошная линия) соответствующие q изображены на графиках (б): сплошная линия: |q|, штриховые: qn, длина штриха увеличивается с индексом n (б).
Изоповерхности инкремента роста γ магнитных мод в пространстве волновых векторов q для центрально-симметричного модельного течения общего вида для молекулярной магнитной диффузии η=0.1 на уровнях 25%, 50%, 75% и 90% от maxqγ.
Публикации:В.А. Желиговский, Р.А. Чертовских. О кинематической генерации магнитных мод блоховского типа. Физика Земли, №1, 2020.
Кинематическое динамо
Отсутствие спиральности у течения несжимаемой электропроводной жидкости не препятствует генерации коротко- или длинномасштабного магнитного поля и наличию у течения магнитного α-эффекта или отрицательной вихревой диффузии.
Построено 6 семейств трехмерных стационарных пространственно-периодических течений U несжимаемой электропроводной жидкости, плотность кинетической спиральности которых равна нулю: U rot U =0 в каждой точке пространства. Течения 4 семейств описаны замкнутыми формулами. Течения 4 семейств (другая четверка!) имеют нулевой спектр спиральности: Ûn(in×Ûn)=0 для всех n, где Ûn — коэффициенты Фурье поля скорости U, а черта обозначает комплексное сопряжение. Численно показано, что модельные течения пяти из этих семейств способны кинематически генерировать как коротко-, так и длинномасштабные магнитные поля, причем длинномасштабные — с помощью как магнитного α-эффекта, так и, для центрально-симметричных течений, отрицательной вихревой диффузии. Таким образом, спиральности полей (-Δ)βU или (-Δ)β rot U не контролируют способность соленоидального потока генерировать магнитное поле ни при каком действительном β (здесь Δ — оператор Лапласа).
Изоповерхности величины скорости |U| (верхний ряд) и завихренности |rot U| (верхний ряд) для двух модельных течений семейства L с ненулевым спектром спиральности на уровне 1/3 соответствующего максимума, для которых генерация короткомасштабного поля начинается в четном (левый столбец) или нечетном (правый столбец) инвариантном подпространстве. Показан один куб периодичности течения.
Течения семейства L имеют вид U = a∇b — b∇a, где a и b — собственные функции лапласиана, отвечающие одному и тому же собственному значению. При условии периодичности такие U принадлежат четному подпространству.
Максимальный инкремент γα роста в медленном времени длинномасштабных магнитных полей, генерируемых магнитным α-эффектом в двух модельных течениях семейства L. Точки показывают вычисленные γα. Тонкие вертикальные линии расположены в критических ηcrit начала генерации короткомасштабного магнитного поля в четном (сплошная линия) и нечетном (штриховая линия) инвариантном подпространстве; прерывистой линией на графике справа показаны инкременты γα в интервале между двумя ηcrit, в котором генерация длинномасштабного магнитного поля магнитным α-эффектом скрыта на фоне более быстрой генерации короткомасштабного поля в нечетном инвариантном подпространстве. В точке ηcrit в четном инвариантном подпространстве расположена вертикальная асимптота γα.
Изоповерхности поля скорости |U| (слева) и завихренности |rot U| (справа) для центрально-симметричного (и потому не обладающего α-эффектом) модельного течения семейства L с ненулевым спектром спиральности на уровнях 1/3 и 2/5 соответствующего максимума. Показан один куб периодичности течения.
Вверху: Минимальная магнитная вихревая диффузия ηeddy в модельном течении семейства L. Точки обозначают вычисленные ηeddy. Пунктирная линия — гипербола, найденная методом минимальных квадратов по 7 вычисленным величинам ηeddy в интервале 0.023≤η≤0.032. Внизу: доминирующие инкременты роста γsm короткомасштабных магнитных мод из центрально-симметричного (сплошная линия) и центрально-антисимметричного (штриховая линия) инвариантного подпространства, генерируемых этим течением. Темные (светлые) кружки обозначают, что соответствующие собственные значения оператора магнитной индукции действительны (комплексны). Тонкие вертикальные линии расположены в критических ηcrit начала генерации короткомасштабных магнитных полей в двух указанных инвариантных подпространствах. В точках ηcrit начала генерации в инвариантных подпространствах, где действительное собственное значение проходит через 0, расположены вертикальные асимптоты ηeddy.
Течения семейства C («косинусные течения») имеют компоненты u1 = n (b1 sin(a⋅x) + a1 sin(b⋅x)) cosnx3, u2 = n (b2 sin(a⋅x) + a2 sin(b⋅x)) cosnx3, u3 = -(a⋅b) cos(a⋅x) + cos(b⋅x)) sinnx3. Было выделено 183 т.н. «основные» косинусные течения, в которых компоненты постоянных горизонтальных векторов a и b, а также волновое число n — целые числа от -3 до 3, и были наложены другие естественные условия — например, никакие два основные потока не переводятся друг в друга симметриями.
Гистограммы доминирующих инкрементов роста γsm короткомасштабных магнитных мод, генерируемых 183 основными косинусными течениями для η = 0.01 (черная сплошная линия), 0.02 (серая сплошная линия, область под которой показана серым) и 0.05 (синяя штриховая линия). Гистограммы минимальной магнитной вихревой диффузии ηeddy в этих течениях (сплошная линия) и в тех из них, которые при данном η не являются короткомасштабными динамо (синяя пунктирная линия).
Совместное распределение минимальной магнитной вихревой диффузии ηeddy и доминирующих инкрементов роста γsm короткомасштабных магнитных мод среди основных течений семейства С для η = 0.01 (звездочки), 0.02 (кружки), 0.05 (треугольники).
Публикации:
Rasskazov A., Chertovskih R., Zheligovsky V. Magnetic field generation by pointwise zero-helicity three-dimensional steady flow of incompressible electrically conducting fluid. Phys. Rev. E, 97, 2018, 043201 [arxiv.org/abs/1708.08770].
Andrievsky A., Chertovskih R., Zheligovsky V. Pointwise vanishing velocity helicity of a flow does not preclude magnetic field generation. Phys. Rev. E, 99, 2019, 033204 [arxiv.org/abs/1811.00859].
Идеальная магнитогидродинамика
Разложение решения уравнений идеальной магнитогидродинамики в ряд Тейлора по времени может быть использовано для его вычисления.
Доказано, что, если начальные скорость течения жидкости и магнитное поле — аналитические функции пространственных переменных, то решение системы трехмерных уравнений идеальной магнитогидродинамики аналитично по пространственным переменным и времени на некотором временнóм интервале строго положительной длины. С использованием свойства вмороженности магнитного поля построены разложения решения в эйлеровых и лагранжевых координатах в ряды Тейлора по времени. Для их коэффициентов выведены рекуррентные соотношения. Эти результаты положены в основу алгоритмов численного интегрирования рассматриваемых уравнений по времени. Лагранжев алгоритм опробован в расчетах; в решении наблюдается образование структур меньших размерностей. Уже при t≈1.5 использованное пространственное разрешение 2563 гармоник Фурье оказывается недостаточным, и на изоповерхностях появляется численная «рябь».
Изоповерхности плотности кинетической энергии течения на уровне 1/3 (левый столбец) и 1/2 (правый столбец) максимума с шагом по времени ≈0.5 (точные времена t указаны на рисунке). Изображен один куб периодичности течения.
Изоповерхности плотности магнитной энергии течения на уровне 1/3 (левый столбец) и 1/2 (правый столбец) максимума с шагом по времени ≈0.5 (точные времена t указаны на рисунке). Изображен один куб периодичности течения.
Публикации:
В.А. Желиговский, О.М. Подвигина. Численный алгоритм интегрирования по времени задач идеальной магнитогидродинамики, опирающийся на аналитичность их решений. Физика Земли, №1, 2020.
Численные методы
Создан метод вычисления решения уравнения Монжа-Ампера с контрастной правой частью.
В космологии считается, что после отделения фотонов от вещества через 380 тысяч лет после Большого Взрыва распределение вещества было равномерным с точностью порядка 10-5-10-6 от средней плотности. Этой флюктуации оказалось достаточно, чтобы под действием гравитации распределение вещества во Вселенной стало крайне неравномерным — таким, каким мы его наблюдаем. Поскольку гравитация — потенциальная сила, на пространственных масштабах, существенно бóльших размеров галактик, перемещение вещества описывается градиентом решения т.н. уравнения Монжа-Ампера: det(∂2u/∂xi∂xj) = r(x), где правая часть r — плотность вещества во Вселенной в нашу эпоху. Если всюду r>0, то для стандартных краевых условий данное уравнение имеет единственное решение, но эта теорема может нарушаться уже при r³0. Это приводит к вычислительным сложностям при большой величине параметра контраста задачи rmax/rmin (что характерно для задач астрофизики). Если r — пространственно-периодическая функция, то u = u’ + c|x|2, где u’ имеет такую же периодичность, c = <r>/2, а угловые скобки обозначают усреднение по ячейке периодичности.
Метод предполагает последовательное вычисление решений регуляризованных уравнений и их экстраполяцию по параметру регуляризации. Он был применен для модельного распределения вещества по трем «галактикам» в кубе периодичности [-1/2,1/2]3 с гауссовым распределением вещества каждой «галактики». Параметр контраста задачи ~107.
Слева: изоповерхности решения u для модельной задачи на уровнях 1/2 и 1/8 максимума u. Справа: изоповерхность Δu’ (лапласиана u’) на уровне 1/3 максимума. Модельные «галактики» находятся внутри показанных структур. Показан куб периодичности распределения r.
∇u’ на плоскостях, параллельных координатным, проходящих через три модельные «галактики», положение которых показано звездами. Цвет кодирует массы галактик: синий, фиолетовый, красный, в порядке возрастания масс.
Публикации:
Zheligovsky V., Podvigina O., Frisch U. The Monge-Ampère equation: various forms and numerical methods. J. Computational Physics, 229, 2010, 5043-5061 [arxiv.org/abs/0910.1301].
Прогноз опасности сильных афтершоков
В рамках проекта РНФ 15-17-00093 в ИТПЗ РАН под руководством д.ф.-м.н. П.Н. Шебалина была разработана Информационная система автоматической оценки сейсмической опасности после сильных землетрясений AFCAST. Эта система работает в режиме времени близком к реальному. Оцениваются область эпицентров ожидаемых афтершоков, максимальная магнитуда и длительность опасного периода. Для оценки используются данные каталога ANSS ComCat Геологической службы США (USGS). В настоящее время ведется прогноз возможных афтершоков землетрясений мира магнитудой 6.5 и более.
При создании системы был получен ряд фундаментальных результатов. В частности, была продемонстрирована независимость магнитуды сильных афтершоков от времени [Баранов, Шебалин, 2019]. Было введено понятие продуктивности землетрясения относительной магнитуды (число инициированных непосредственно этим землетрясением событий магнитудой не ниже порога, определяемого фиксированной разностью относительно этого землетрясения). Установлено, что это величина имеет экспоненциальное распределение, а среднее значение распределения быстро убывает с глубиной очага. Экспоненциальное распределение числа афтершоков относительной магнитуды объясняет форму распределения разности магнитуды основного толчка и сильнейшего афтершока (закон Бота). Размах (дисперсия) этого распределения определяется значением параметра b закона Гутенберга-Рихтера, а положение моды распределения средним значением числа афтершоков относительной магнитуды. Это позволяет также оценить зависимость разности магнитуды основного толчка и сильнейшего афтершока от времени.
Для работы с системой AFCAST перейдите по ссылке https://www.itpz-ran.ru/ru/resultaty/maps-and-databases/afcast/. Краткая инструкция по работе с системой AFCAST находится по ссылке. Результаты системы носят предварительный характер и могут использоваться только в научных целях. В случае неполадок каких-либо элементов системы AFCAST необходимо сообщить по e-mail: bars.vl@gmail.com, vadim@krsc.ru.
Примеры работы программы
Основные публикации:
Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 2. Оценка области распространения сильных афтершоков // Физика Земли. 2017. № 3. С. 43–61.
Шебалин П.Н., Баранов С.В. Экспресс оценка опасности сильных афтершоков района Камчатки и?Курильских островов // Вулканология и сейсмология. 2017. № 4. С. 57
Shebalin P., Baranov S. Long-Delayed Aftershocks in New Zealand and the 2016 M7.8 Kaikoura Earthquake // Pure and Applied Geophysics. 2017. V. 174, No. 7, P. 3751–3764. DOI 10.1007/s00024-017-1608-9.
Shebalin P., Narteau C. Depth dependent stress revealed by aftershocks // Nature Communiations. 2017. V. 8, No. 1317. DOI: 10.1038/s41467-017-01446-y
Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 3. Динамический закон Бота // Физика Земли. 2018. Т. 54. №6. С. 129-136.
Шебалин П. Математические методы анализа и прогноза афтершоков землетрясении: необходимость смены парадигмы // Чебышевский сборник. 2018. Т. XIX, Вып. 4(68). С. 227-242.
Шебалин П.Н., Баранов СВ., Дзебоев Б.А. Закон повторяемости количества афтершоков // Доклады Академии наук. 2018. T. 481. № 3.
Баранов С.В., Шебалин П.Н. Глобальная статистика афтершоков сильных землетрясений: независимость времен и магнитуд // Вулканология и сейсмология. 2019. №2. С. 67-76.
Баранов С.В., Павленко В.А., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 4. Оценка максимальной магнитуды последующих афтершоков // Физика Земли. 2019. Т. 55. №4. С. 1-11.
Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 5. Оценка длительности опасного периода // Физика Земли. 2018. Т. 55. №5.
Проверка результатов распознавания мест возможного возникновения сильных землетрясений
В 1972 г. В.И. Кейлис-Борок и И.М. Гельфанд предложили феноменологический подход к идентификации сейсмоопасных зон, основанный на морфоструктурном районировании и распознавании образов. Методология позволяет определять сейсмогенные узлы, в которых возможно возникновение сильных землетрясений по комплексу геологических, геоморфологических и геофизических признаков, которые не содержат информации об известной сейсмичности изучаемого региона. В период 1972-2018 годов было изучено в общей сложности 26 сейсмоактивных регионов мира (Табл. 1) и опубликованы карты, показывающие положение распознанных сейсмоопасных узлов в каждом регионе. Впоследствии в 11 из этих регионов произошли землетрясения соответствующих магнитуд. Был проведен анализ корреляции пост-публикационных событий соответствующих магнитуд с распознанными ранее сейсмогенными узлами. Тест был выполнен с использованием каталога землетрясений NEIC, поскольку он с одинаковой точностью определяет местоположение и магнитуды землетрясений по всему миру. Было установлено, что 86% таких событий (Табл. 1 и Рис. 1-2) произошли в распознанных сейсмогенных узлах. Проведенный анализ демонстрирует достаточную эффективность и надежность методики распознавания сейсмогенных узлов и подтверждает в целом гипотезу о связи сильных землетрясений с узлами.
| Регион | Масштаб карты МСР | Порог M0 | Ссылка |
| Тянь-Шань и Памир | 1:2,500,000 | 6.5 | Gelfand et al., 1972 |
| Балканы, Малая Азия | 1:2,500,000 | 6.5 | Gelfand et al., 1974 |
| Калифорния и Невада | 1:2,500,000 | 6.5 | Gelfand et al., 1976 |
| Италия | 1:2,500,000 | 6.0 | Caputo et al., 1980 |
| Аппенины и Сицилия | 1:1,000,000 | 6.0 | Gorshkov et al., 2002 |
| Анды Южной Америки | 1:7,500,000 | 7.75 | Gvishiani et al., 1984a |
| Камчатка | 1:7,500,000 | 7.75 | Gvishiani et al., 1984b |
| Западные Альпы | 1:1,000,000 | 5.0 | Cisternas et al., 1985 |
| Большой Кавказ | 1:1,000,000 | 5.0 | Gvishiani et al., 1988 |
| Пиренеи | 1:1,000,000 | 5.0 | Weber et al., 1987 |
| Малый Кавказ | 1:1,000,000 | 5.0 | Gorshkov et al., 1991 |
| Гималаи | 1:2,500,000 | 6.5 | Bhatia et al., 1992 |
| Карпаты | 1:1,000,000 | 6.0 | Gorshkov et al., 2000 |
| Альпы и Динариды | 1:1,000,000 | 6.0 | Gorshkov et al., 2004 |
| Эльбрус | 1:1,000,000 | 6.0 | Gorshkov et al., 2009a |
| Эквадор | 1:1,000,000 | 6.5 | Chunga et al., 2010 |
| Иберия | 1:1,000,000 | 5.0 | Gorshkov et al., 2010 |
| Северный Вьетнам | 1:1,000,000 | 5.0 | Tuyen et al., 2012 |
| Французский Центральный Массив | 1:1,000,000 | 5.0 | Gorshkov et al., 2019 |
| Копет Даг | 1:1,000,000 | 6.0 | Novikova et al., 2013 |
| Кавказ | 1:1,000,000 | 6.0 | Soloviev et al., 2013 |
| Впадина р.По (Италия) | 1:1,000,000 | 5.0 | Peresan et al., 2014 |
| Центральная часть Альпийского пояса | 1:1,000,000 | 7.0 | Novikova et al., 2016 |
| Северо-Восточный Египет | 1:1,000,000 | 5.0 | Gorshkov et al., 2016 |
| Горный Крым | 1:1,000,000 | 6.0 | Gorshkov et al., 2017 |
| Южно-Сибирские горы | 1:1,000,000 | 6.0 | Gorshkov et al., 2018 |
На Рис. 1-2 представлены примеры корреляции пост-публикационных землетрясений с распознанными высокосейсмичными узлами на Памире и Тянь-Шане и на Большом Кавказе.
Рис. 1. Сейсмогенные узлы, распознанные в Памире (Р) и Тянь-Шане (T-Sh) (Gelfand et al., 1972) и их корреляция с пост-публикационными событиями M6.5+.
Рис. 2. Сейсмогенные узлы, распознанные на Большом Кавказе (Gvishisni et al., 1988) и их корреляция с пост-публикационными землетрясениями 5+. В этом регионе все пост-публикационные события коррелируют с распознанными сейсмогенными узлами.
| Регион и год публикации результатов распознавания | M0 | Корреляция пост-публикационных событий с результатами распознавания | ||||
| Общее кол-во событий-целей | Число событий в В (включая В* ) | Число событий в Н | Число событий вне узлов | |||
| Тянь-Шань и Памир, 1972 | 6.5 | 9 | 8 | (2) | 0 | 1 |
| Балканы, Малая Азия, 1974 | 6.5 | 31 | 28 | (8) | 1 | 2 |
| Калифорния и Невада, 1976 | 6.5 | 14 | 13 | (4) | 0 | 1 |
| Италия, 1979 | 6.0 | 11 | 7 | (1) | 0 | 4 |
| Анды Южной Америки 1982 | 7.75 | 7 | 5 | (2) | 1 | 1 |
| Камчатка, 1984 | 7.75 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| Западные Альпы, 1985 | 5.0 | 6 | 5 | (1) | 1 | 0 |
| Пиренеи, 1987 | 5.0 | 6 | 5 | (1) | 1 | 0 |
| Большой Кавказ 1988 | 5.0 | 13 | 13 | (9) | 0 | 0 |
| Гималаи, 1992 | 6.5 | 5 | 3 | (1) | 0 | 2 |
| Иберия, 2010 | 5.0 | 1 | 1 | (0) | 0 | 0 |
| Итого | 104 | 89 | 29 | 4 | 11 | |
Примечания: М0 – пороговая магнитуда землетрясений, для которой проводилось распознавание в данном регионе; В* — узлы, распознанные как высокосейсмичные, но на момент решения задачи землетрясения с М ≥ М0 в них не были зарегистрированы; Н — узлы, распознанные как низкосейсмичные.
Таблица 2 показывает, что 89 (около 86%) событий произошли в узлах, распознанных как В. Классификация узлов на В и Н с помощью алгоритма распознавания нетривиальна. Вероятность ошибки данной классификации может быть оценена как отношение числа событий, произошедших в узлах Н к общему числу событий (4/104 = 3.7%). Эта малая величина свидетельствует о достаточной надежности и статистической значимости результатов распознавания.
Публикации:
Gorshkov A., Novikova O. (2018) Estimating the validity of the recognition results of earthquake prone areas using the ArcMap. Acta Geophysica. Volume 66, Issue 5, pp 843-853. Doi 10.1007/s11600-018-0177-3
