Выпуск 30

Предложен численный метод расчета трехмерных течений высоковязкой жидкости, пригодный для исследования медленных движений в верхних слоях мантии. Этот метод, развитый ранее для решения двумерных задач, обобщается на три измерения. Для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости вводится векторный потенциал скоростей, который раскладывается по базисным трикубическим сплайнам. Плотность представляется в аналогичной форме. Неизвестные коэффициенты разложений плотности определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вытекающих из уравнения переноса массы. Коэффициенты разложений компонент векторного потенциала составляют решение системы линейных алгебраических уравнений, вытекающих из уравнений Стокса. Приводится пример расчета течения, возникающего при погружении аномально тяжелого тела (отрезка эллиптического цилиндра) в окружающей среде, и расчета топографии поверхности, обусловленной этим течением. Такая модель соответствует нетермической компоненте погружения кристаллического фундамента при отсутствии осадков, которая возникает в результате фазовых переходов в магматических телах и последующего погружения утяжелённых тел в астеносфере.

Получено численное решение уравнений миграции расплава в пористой сжимаемой среде с вязкостью матрицы вмещающих пород, зависящей от концентрации расплава (пористости). При постоянной вязкости и при инверсии концентрации расплава возникают уединённые волны пористости. В работе показано, что условия для возникновения решения в виде уединённых волн изменяются, если вязкость матрицы скачкообразно зависит от пористости. Рассмотрена модель, в которой вязкость скачкообразно уменьшается при критическом значении пористости порядка 6% (в соответствии с экспериментальными данными Херта и Колштедта). Оказалось, что в этом случае решение в виде уединённых волн возникает при однородном начальном распределении пористости. При этом амплитуда возникающих уединённых волн оказывается в несколько раз больше, чем при постоянной вязкости. Модель используется для описания возможного сценария образования некоторых наблюдаемых слоев интрузий в Оманском офиолите.

В работе изучались концептуальная и численная модели эволюции бассейна Ионического моря, основанные на многочисленных региональных геолого-геофизических наблюдениях. Анализ тектонического погружения региона выявил три фазы быстрого прогибания фундамента Иблейского плато (юго-восточная часть Сицилии) и северо-западной части Ионического бассейна в среднем – позднем триасе, поздней юре – раннем мелу и неогене. Опираясь на результаты недавних сейсмостратиграфических исследований, было высказано предположение, что бассейн начал формироваться в поздней юре из-за растяжения континентальной литосферы, сопровождаемого утонением коры и нижней части литосферы, подъемом подстилающей астеносферы и плавлением восходящего мантийного материала. Часть магматического расплава поднималась вверх, частично кристаллизуясь в низах коры и частично достигая поверхности, что проявлялось в виде активного вулканизма. Позднеюрское региональное растяжение не привело к раскрытию океана, но сильно утонило континентальную кору и литосферу. Часть расплава осталась под границей литосфера/астеносфера и образовала магматическую линзу. В результате последующего охлаждения базальтовый расплав линзы кристаллизовался и при соответствующих термодинамических условиях превратился в плотные породы (эклогиты). Свидетельством уплотнения мантийного материала могут служить положительные аномалии гравитационного поля и скоростей Р-волн. Эклогитовая линза погружалась в относительно легкой астеносфере, вызывая вязкие течения, которые приводили к эволюции Ионического бассейна, начиная с раннего мела. В работе построены численные модели твердотельных течений среды, наведенных подъемом астеносферы и погружением тяжелой линзы. Результаты анализа погружения и численного моделирования дают возможность сделать вывод о том, что процессы в верхах мантии, влияющие на эволюцию осадочного бассейна Ионического моря, могут объясняться восходящими мантийными течениями, фазовыми переходами и погружением эклогитовой линзы. Растяжение в поздней юре, быстрое погружение бассейна в раннем мелу и последующее региональное сжатие в позднем мелу и третичное время – суть поверхностные проявления этих внутримантийных процессов.

Для описания медленных течений в мантии обычно используется реологическая модель степенной неньютоновской жидкости. Однако степенная жидкость в отличие от реального материала не обладает памятью. Новая нелинейная реологическая модель с памятью, недавно предложенная автором, сводится к модели степенной жидкости в случае стационарных течений и к модели Андраде в случае течений, вызывающих малые деформации. Флейту и Юин исследовали стационарную конвекцию под континентами. Они использовали модель степенной жидкости и получили холодный неподвижный погранслой (континентальную литосферу). При анализе устойчивости этого слоя следует применять реологическую модель Андраде. Анализ показывает, что литосфера имеет колебательную неустойчивость (период колебаний около 200 миллионов лет). Эти термоконвективные колебания рассматриваются в настоящей работе как механизм эволюции осадочных бассейнов. Вертикальные движения коры в осадочных бассейнах можно рассматривать как медленные опускания, на которые наложены малоамплитудные колебания. Период колебательных движений коры того же порядка, что и период конвективных колебаний литосферы, найденный при анализе устойчивости. Принимая во внимание значительное различие между темпами седиментации и эрозии, удается объяснить не только колебательные движения в бассейнах, но и медленные постоянные опускания.

Рассмотрена простейшая стохастическая модель данных бурения осадочной толщи: глубина слоя и его возраст. Модель основана на предположении, что скорость осадконакопления складывается из случайной гауссовской автомодельной стационарной компоненты и постоянной составляющей b. При этом из всех слоев осадочной толщи, залегавших на одной высоте в течение всего периода ее формирования, под действием эрозии сохраняется только самый молодой по возрасту. В этой модели аналитически изучены следующие вопросы: распределение по размерам как временных гэпов, так и мощностей слоев с кажущейся непрерывной датировкой, временна́я мультифрактальность осадочных слоев и задача оценивания параметра b. Исчерпывающий ответ дан в условиях, когда случайная компонента скорости осадков является белым шумом.

Срединно-океанические хребты (СОХ) являются наиболее протяженными глобальными структурами и представляют собой дивергентные границы плит, где формируется новая земная кора и плиты расходятся в противоположных направлениях. Совместный анализ сейсмичности и геодинамики выполнен для всей глобальной системы СОХ. Рассматривались два первых уровня сегментации хребтов: структуры первого порядка – сегменты между тройными сочленениями и структуры второго порядка – трансформные и рифтовые участки. Для оценки суммарного сейсмического момента использовались каталоги NEIC и СМТ, эта же величина была сосчитана на основании глобальной тектонической модели NUVEL-1. Сравнение этих двух величин показало, что коэффициент сейсмического сцепления α изменяется в среднем от 1 до 10%, при этом он всегда выше для трансформных участков СОХ, т.е. бóльшая часть деформации связана с асейсмической составляющей. Решающая роль в сейсмичности СОХ принадлежит трансформным разломам. Их энергетический вклад на один-два порядка выше, чем вклад от рифтовых участков и увеличивается в случае быстроспрединговых хребтов. Намечаются закономерные связи между сейсмическим моментом и суммарной длиной трансформных разломов, что подтверждает термическую модель сейсмичности океанической литосферы, предложенную Бурром и Соломоном. Противоположные закономерности характерны для рифтовых участков – отчетливая обратная корреляция между сейсмическим моментом и скоростью спрединга. В обоих случаях эти результаты показывают решающую роль термической структуры литосферы в сейсмичности СОХ.

Система Рэлея (вместе с уравнением Лява) определяется как результат разделения переменных в уравнениях линейной упругости в слоистой среде одного из трех типов: плоско, сферически или цилиндрически слоистой. Ее составляют два обыкновенных уравнения второго порядка, в которые частота и волновое число входят как параметры. В статье исследуется вопрос о возможности упрощения этой системы с помощью матричных преобразований, не зависящих от волнового числа. Найдены условия, позволяющие свести систему к двум системам второго порядка. Любая система Рэлея может быть задана матрицей с нулевым следом. При фиксированной частоте и переменной глубине три коэффициента этой матрицы описывают кривую в трехмерном пространстве. Равенство нулю кручения кривой эквивалентно условию упрощения системы. Этот факт позволяет явно выразить это условие через параметры среды и в компактной форме. Условие, зависящее от частоты, выражается одним дифференциальным соотношением, а не зависящее – двумя.

Исследуются две системы дифференциальных уравнений относительно параметров плоскослоистой среды, полученные в 1-й части работы. Первая выражает условия, при которых система уравнений для трансформант P–SV-колебаний сводится к двум уравнениям Штурма–Лиувилля; вторая выражает условие разложимости на множители оператора системы для P–SV-колебаний. Обе системы недоопределены. Решение каждой из них зависит от произвольно выбранной функции. Найдены решения обеих систем в квадратурах и первый интеграл первой системы. Доказывается, что первая система эквивалентна системе Янга, решающей ту же задачу. Следовательно, вторая система, будучи более общей, чем первая, является усилением результата Янга. Для среды, подчиненной первой системе, выписана система упрощенных уравнений P–SV-колебаний. Рассмотрен класс сред со степенной зависимостью параметров среды от глубины, удовлетворяющий первой системе. Он оказался довольно емким, в него вошли примеры Гупты и Янга и некоторые из указанных Хуком. Показано, что примеры Пикериса и Зволинского удовлетворяют второй, но не первой системе. Этим же свойством обладает оператор упругости, каждый сомножитель которого является оператором Дирака; тем самым обнаруживается параллель между теорией упругости и квантовой теорией.

В пространстве бездивергентных полей в шаровом слое построен базис из собственных полей оператора Лапласа, равных нулю на границе слоя, шаровой слой соответствует жидкому ядру в модели Земли. Показано, что если упорядочить собственные поля оператора Лапласа по возрастанию собственных чисел, то полученный базис окажется также упорядоченным по степени осциллируемости базисных полей. Этот базис, кроме того, использован для весьма простого (опирающегося на теорему Карлемана) доказательства полноты системы собственных и присоединенных функций задачи о свободных колебаниях вязкой жидкости в шаровом слое при малых отклонениях от твердотельного вращения.

Сделана попытка корректно применить вариационный подход (теорию слабых решений эллиптических уравнений) к задаче о собственных колебаниях Земли. Отдельно рассмотрен важный случай сферически симметричной модели Земли, доказаны известные факты существования крутильных и сферических собственных колебаний. Способ доказательства, возможно, представляет самостоятельный интерес. Численная реализация вариационного подхода (метод Ритца) и возникающие при этом проблемы иллюстрированы на примере однородной сферы. Показана важность адекватного выбора базиса в методе Ритца: только такой базис обеспечивает устойчивость и технологичность вычислительного процесса в данном методе.

Приведены результаты численных расчетов стационарных решений трехмерного уравнения Навье–Стокса с периодическими граничными условиями и силой, пропорциональной ABC-потоку. Для силы, обратно пропорциональной числу Рейнольдса R, АВС-поток является стационарным решением при любом R. Расчеты показали, что в случае A  =  B  =  C  =  1, рассматриваемом в статье, существуют еще шесть семейств стационарных решений. Три взаимно симметричные семейства появляются при R  ≈  7.9 и три другие, также взаимно симметричные, при R  ≈  149. Эти решения, численно прослеженные до R  =  1000–2000, по-видимому, существуют при любых бо́льших значениях R.

В развитие работы авторов [1] в настоящей статье предлагается вычислительный метод, позволяющий с большей точностью восстановить достаточно гладкое распределение плотности и модуля сжатия горизонтально однородной жидкой среды только по волновым числам и амплитудам прогрессивных поверхностных волн, возбуждаемых монохроматическим источником на двух разных и достаточно больших частотах.

Цель статьи – рассказать о новейших результатах в классической задаче обращения годографа, познакомить читателей с новыми ключевыми понятиями (универсальная последовательность, мажоранта и особые точки), появившимися в последние годы в исследованиях, посвященных этой задаче, и объяснить – с использованием принципа двойственности – почему дискретные меры (или – физически – волноводы с конечным числом слоев) играют такую важную роль при описании неединственности в задаче обращения годографа.

Обсуждается вопрос восстановления скоростных характеристик среды по результатам измерений времен пробега поверхностных волн. Рассматриваемая задача сводится к задаче нахождения минимального решения системы линейных неравенств в бесконечномерном пространстве. Для решения последней указывается итерационный алгоритм, который иллюстрируется на просчитанных на персональном компьютере тестовых примерах. Этот алгоритм является достаточно быстрым. При его реализации не требуется решение каких-либо систем линейных уравнений.

Продолжается исследование обратной задачи радиозондирования ионосферы, содержащей волновод. В предшествующих работах [1–3] эта задача рассматривалась для наклонного зондирования вдоль магнитной широты, которое проводится на двух (и более) фиксированных частотах. В настоящей работе показано, что использование импульсного источника при той же схеме эксперимента не дает новой информации, несмотря на то, что дополнительно измеряется время движения радиосигнала вдоль луча. Причиной является ме́ньшая информация о среде, содержащаяся в групповой скорости, по сравнению с той, которая содержится в фазовой – это следует из теоремы Брайта–Тьюва. Кроме того, отмечено, что если нам известно фазовое время в некотором интервале частот, то строение волновода может быть определено по скачку тау-функции на волноводе, который зависит от частоты сигнала. Точнее говоря, определяются меры лебеговых множеств, порождаемых скоростью в волноводе. Для выпуклого волновода в этих условиях определяется его ширина при любой скорости.

Определение строения и свойств верхней части дна моря представляет значительный научный и практический интерес. Для восстановления характеристик дна в случае мелкого моря автор использовал экспериментальные дисперсионные кривые в широком диапазоне частот и волновых чисел, полученные путем обработки данных о шумах судна-буксировщика, зарегистрированных обычной сейсморазведочной многоканальной буксируемой косой. Расширение частотного диапазона по волновым числам было основано на использовании физических представлений о распространении сейсмоакустических волн. Скорости поперечных волн в самом верхнем слое дна и в следующем слое, а также глубина верхнего слоя были определены методом проб и ошибок. Главным результатом работы является получение экспериментальных дисперсионных кривых в широком диапазоне частот и волновых чисел по шумам судна и с использованием только стандартной сейсморазведочной аппаратуры, а также обоснование возможности определения скорости поперечных волн по этим данным.

The paper discusses some issues arising out of attempts to calculate and score regular regional forecasts for earthquake probabilities. Given a conditional intensity model for earthquake occurrence, the model is first used to simulate occurrence patterns over the forecast interval. Then the simulations are used to estimate the required occurrence probabilities. A simple binomial score is suggested for monitoring and evaluating the performance of the probability forecasts. It is shown that an upper bound for the average score is provided by the information (or entropy) rate of the model. Similarly the improvement in the score over a standard model (constant rate Poisson with independent magnitudes) is bounded above by the entropy gain. Rates can be per unit time or per event. The performances of the ETAS and Stress Release models are described, and used to illustrate how the effectiveness of the forecasts depends on the type of model, the timing of the forecasts and the choice of forecast interval.

В двумерной пружинно-блочной модели с прочностью сцепления, растущей с ростом времени неподвижного контакта, наблюдается кластеризация событий в виде форшоков и афтершоков сильных толчков. В одномерной модели из трех блоков с периодическими граничными условиями динамический хаос порождается странным аттрактором.

Выполнено численное моделирование динамики для трех групп блоковых структур с увеличением раздробленности внутри каждой из групп и для двух типов движений границ. Группируемость землетрясений в полученных искусственных каталогах и фрактальные свойства последовательностей моментов этих событий исследуются с помощью фрактальных размерностей d (2) и d (0). Установлено, что группируемость событий зависит от типа движения границ и от раздробленности структуры, причем тип движения границ является главным фактором. Значения d (2) и d (0) фактически зависят только от типа движения границ.

В результате моделирования динамики взаимодействующих блоков простейших типов тектонических движений, таких как сдвиг, взброс, сброс и сдвиг со взбросом, получены синтетические каталоги землетрясений, позволившие исследовать основные характеристики потока землетрясений для каждого отдельного типа движения. Выявлена зависимость этих характеристик от линейных размеров моделируемой структуры и ее раздробленности. Проведен сравнительный анализ модельной и реальной сейсмичности рассмотренных типов тектонических движений, подтвердивший адекватность применяемой модели.

Предлагается новый метод статистической оценки А_max(Т) – максимального пикового ускорения грунта в заданной точке сейсмоактивного региона в течение Т лет, вызванного землетрясением. Метод использует Байесовский подход и учитывает неточность измеряемых магнитуд. В предлагаемом методе непосредственно оценивается закон повторяемости пиковых ускорений в заданной точке. Метод дает не только оценку квантилей распределения А_max(Т), но и их статистическую неопределенность (стандартные отклонения). Приводятся примеры применения предлагаемого метода для оценки квантилей А_max(Т) в Байкальской рифтовой зоне (в том числе на трассе БАМ) и в ряде крупных городов Северного Кавказа.

Рассматривается задача оценивания параметров прихода различных сейсмических фаз (азимута и кажущейся скорости) методом пространственного спектрального анализа, обобщенного для случая группы трехкомпонентных датчиков. Показано наличие отклонения оценки азимута прихода сигнала от теоретического направления, что связано со сложным строением среды на путях распространения волны. Анализ также выявил аномально низкие скорости распространения всех волновых фаз в районе установки группы Алибек (Южный Прикаспий).

Исследуются вопросы автоматизации предварительного этапа морфоструктурного районирования с использованием исходной картографической, фотографической и другой информации. Процесс опирается на комплексную обработку имеющихся изображений, включает в себя алгоритмы визуализации, выделения отдельных информационно важных элементов на изображениях карт, дешифрирование фрагментов космофотоснимков. Описывается соответствующая программная реализация.